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（3）. $$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\sqrt{1+2\sin2x}}dx$$

好的，我们来分析并求解这个积分。

分析

这个积分看起来比较复杂，主要挑战在于被积函数的分母中包含平方根，而且根号内是 $\sin 2x$ 项。直接使用常见的积分技巧可能难以奏效。我们需要尝试一些特殊的变换。

首先，我们观察到 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$，同时考虑到 $\cos x$ 在分子中，这提示我们可能可以把根号内的表达式变成一个完全平方的形式。

考虑以下变换：
$$ 1 + 2\sin 2x = 1 + 4\sin x \cos x = (\sin^2 x + \cos^2 x) + 4\sin x \cos x $$
我们想要尝试将其转化为 $(\sin x + \cos x)^2$ 或者 $(\sin x - \cos x)^2$ 的形式。
$$(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1+ \sin 2x $$
$$(\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 - \sin 2x$$
我们发现， 根号内是 $1+2\sin 2x$, 不能直接通过平方展开得到，但可以考虑加上一个常数，从而配方。
我们知道， $\sin^2x + \cos^2 x =1$.
所以 $2\sin2x=4\sin x \cos x$.
$$ 1+2\sin2x=1+4\sin x \cos x=(\sin^2x+2\sin x \cos x + \cos^2x)+2\sin x \cos x$$
这个方向看起来行不通， 尝试从另一个角度考虑。

我们有 $1 = (\sin x + \cos x)^2 - 2\sin x\cos x$.
那么有 $1+2\sin2x = (\sin x + \cos x)^2 - 2\sin x\cos x+4\sin x\cos x=(\sin x+\cos x)^2+2\sin x\cos x$. 好像还是不能配方。
回到最初的表达式：
$$ 1 + 2\sin 2x = 1 + 4\sin x \cos x $$
尝试构造完全平方：
$$ 1+2\sin2x=1+2\sin2x = 2-1+2\sin2x =2-(\sin^2x+\cos^2x)+2\sin2x = 2-(\sin^2x-2\sin x\cos x+\cos^2x)=2-(\sin x-\cos x)^2$$
这个方向也不对。

我们回到最初的分析， 尝试利用三角函数变换：
$$1 + 2\sin 2x = 1 + 4\sin x \cos x$$
观察到 $1 = (\sin x + \cos x)^2 - 2 \sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2 + 2\sin x \cos x$
$ 1 + 2 \sin 2x = \sin^2x+\cos^2x + 4\sin x \cos x$.

注意到$\sin(\frac{\pi}{4}+x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x$.

让我们尝试一个不同的思路。我们使用 $2\sin2x = 4 \sin x \cos x$。
令 $t=\sin x-\cos x$. $dt=(\cos x+\sin x)dx$.
$t^2 = (\sin x-\cos x)^2=\sin^2x-2\sin x\cos x+\cos^2x=1-\sin2x$.
如果设 $t=\sin x+\cos x$, 那么$dt=(\cos x-\sin x)dx$. $t^2=1+\sin2x$.
这个方向好像也没什么用处。

我们再来看一下题。
$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\sqrt{1+2\sin2x}}dx $$
考虑一下$\sin2x=1-cos^2(\frac{\pi}{2}-2x)$
尝试用欧拉变换：令$u=\tan(\frac{x}{2})$.
这样的话，$\sin x=\frac{2u}{1+u^2}$ $\cos x = \frac{1-u^2}{1+u^2}$.
$\sin2x=\frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}$. 好像越来越复杂了。

再次尝试
$$1+2\sin2x=1+4\sin x\cos x$$
令$t = \sin x + \cos x$.
则$t^2=1+2\sin x \cos x=1+\sin2x$
所以，$1+2\sin 2x = 2t^2-1$

注意到$\frac{d}{dx}(\sin x+\cos x)=\cos x-\sin x$.
$\frac{d}{dx}(\sin x-\cos x)=\cos x+\sin x$.
$(\sin x+\cos x)^2=1+2\sin x \cos x=1+\sin2x$.
$(\sin x-\cos x)^2=1-2\sin x\cos x=1-\sin2x$.
但是被积函数中只有$\cos x$.

考虑换元 $u=\frac{\pi}{2}-x$, 则 $du = -dx$. $\cos x = \sin u$, $\sin2x=\sin(\pi-2u)=\sin2u$.
$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\sqrt{1+2\sin2x}}dx = \int_{\frac{\pi}{2}}^0 \frac{\sin u}{\sqrt{1+2\sin2u}}(-du)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin u}{\sqrt{1+2\sin2u}}du$$

这也没有什么简化。

我们考虑对 $\sqrt{1+2\sin2x}$进行化简。因为$\sin2x=\sin^2x+\cos^2x+2\sin x\cos x =(\sin x+\cos x)^2$.
$\sin 2x=2\sin x\cos x$

我们重新考虑 $1+2\sin 2x$. 考虑将其进行平方根的开方，则使用恒等变形：
$$1 + 2 \sin 2x = 1+ 4 \sin x \cos x$$
令 $u=\sin x-\cos x$. 则 $du=(\cos x+\sin x)dx$。
$u^2 = 1 - 2\sin x \cos x = 1 - \sin 2x$
$$1+2\sin 2x=2-(1-2\sin 2x)=2-(\sin x-\cos x)^2=2-u^2$$

如果令$u = \cos x-\sin x$，$du=(\sin x+\cos x)dx$，$u^2=1-\sin2x$。
但是这些都没有简化。

正确的解法
令 $t=\sin x-\cos x$，则$dt=(\cos x+\sin x)dx$
$t^2=\sin^2 x+\cos^2 x - 2\sin x\cos x = 1-\sin 2x$.
但是被积函数是$\cos x$, 我们要化简分母，根号里面是$1+2\sin2x$。
利用
$1+2\sin2x=(\sin x+\cos x)^2+2\sin x\cos x$
再次思考：
$$1+2\sin2x=(\sin x+\cos x)^2$$
当 $x=0$, $\sqrt{1+2\sin2x}=1$. 当$x=\frac{\pi}{2}$,$\sqrt{1+2\sin2x}=1$
$$ \sqrt{1+2\sin2x}=\sqrt{1+2\sin2x}=\sqrt{\sin^2x+\cos^2x+4\sin x\cos x}$$

考虑
$1+2\sin2x=(\sin x+\cos x)^2-2\sin x\cos x+4\sin x\cos x=(\sin x+\cos x)^2+2\sin x\cos x$
注意到 $\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x + \cos x)$
令 $t=\sin x+\cos x$, $dt=(\cos x-\sin x)dx$, $t^2=1+\sin2x$
这里还是很难使用换元法。

考虑$1+2\sin2x$.
令$t=\sin2x$, $dt=2\cos2x dx$
如果令$u=\sqrt{1+2\sin2x}$.
那么 $u^2=1+2\sin2x$, $2udu=4\cos2x dx$.
这个方向没有用。

令 $x=\frac{\pi}{4}-y$. $dx=-dy$.
$1+2\sin2x=1+2\sin(\frac{\pi}{2}-2y)=1+2\cos2y$.
$\cos x = \cos(\frac{\pi}{4}-y)=\cos\frac{\pi}{4}\cos y+\sin\frac{\pi}{4}\sin y=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos y+\sin y)$
$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\sqrt{1+2\sin2x}}dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{-\frac{\pi}{4}}\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos y+\sin y)}{\sqrt{1+2\cos2y}}(-dy)=\frac{\sqrt{2}}{2}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos y+\sin y}{\sqrt{1+2\cos2y}}dy$$
利用对称性。
$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\sqrt{1+2\sin2x}}dx = \frac{\pi}{4}$$
令 $u=\frac{\pi}{4}-x$
$\sin 2x=\sin (\frac{\pi}{2}-2u)=\cos2u$
$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\sqrt{1+2\sin2x}}dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{-\frac{\pi}{4}} \frac{\cos (\frac{\pi}{4}-u)}{\sqrt{1+2\cos2u}}(-du) = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos (\frac{\pi}{4}-u)}{\sqrt{1+2\cos2u}}du$$
所以， $\int_0^{\pi/2}\frac{\cos x}{\sqrt{1+2\sin2x}}dx=\frac{\pi}{4}$.

这个答案是错误的。

正确解法
令$u=\frac{\pi}{2}-x$,$du=-dx$
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\sqrt{1+2\sin 2x}}dx = \int_{\frac{\pi}{2}}^0\frac{\sin u}{\sqrt{1+2\sin2u}}(-du)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin u}{\sqrt{1+2\sin2u}}du$$
因此
$$ 2I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x+\sin x}{\sqrt{1+2\sin2x}}dx$$
令 $t=\sin x-\cos x$, $dt=(\cos x+\sin x)dx$
$t^2=1-\sin2x$, $1+2\sin2x=2-t^2$
$$2I = \int_{-1}^{1} \frac{dt}{\sqrt{2-t^2}}$$
令$t=\sqrt{2}sin\theta$,$dt=\sqrt{2}\cos\theta d\theta$
$2I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sqrt{2}\cos\theta}{\sqrt{2}\sqrt{1-\sin^2\theta}}d\theta=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}d\theta = \frac{\pi}{2}$
$I=\frac{\pi}{4}$
结论
原积分值为 $\frac{\pi}{4}$。

（4）.$$\int_{\frac12}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\frac{1}{(\sqrt{(2x+1)^2+\sqrt{4x^2+4x}})(\sqrt{x^2+x})}dx$$

好的，我们来分析并求解这个积分。

分析

这个积分看起来非常复杂，被积函数的分母中包含了多个嵌套的平方根，而且表达式也比较繁琐。直接使用常规的积分技巧可能很难奏效。因此，我们需要仔细观察，尝试寻找突破口。

首先，我们注意到分母中出现了一些类似的项： $(2x+1)^2$ 和 $4x^2 + 4x$ 以及 $x^2 + x$。 这提示我们可能需要进行一些代数上的简化或者变量替换。

观察到 $4x^2+4x = 4(x^2+x)$, 我们可以尝试先处理分母中较内层的根号：
$$\sqrt{4x^2+4x} = \sqrt{4(x^2+x)} = 2\sqrt{x^2+x}$$

现在分母变成：
$$\sqrt{(2x+1)^2 + 2\sqrt{x^2+x}} \cdot \sqrt{x^2+x}$$
尝试将根号下的 $(2x+1)^2$ 展开:
$$(2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$$
所以
$$(2x+1)^2 + 2\sqrt{x^2+x} = 4(x^2+x) + 1 + 2\sqrt{x^2+x}$$

我们注意到 $x^2+x$ 重复出现，可以尝试变量替换。
令 $u = x^2+x$， 则 $du = (2x+1)dx$. 然而， 分子中并没有$(2x+1)$ 项。

我们试着将 $x^2+x$ 进行配方: $x^2+x = (x+\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$.
这并没有简化问题。

我们换个思路，尝试直接从最开始的表达式进行观察和变形。
注意到 $\sqrt{4x^2+4x} = 2\sqrt{x^2+x}$, 尝试化简根号下的表达式：
$$\sqrt{(2x+1)^2 + \sqrt{4x^2+4x}} = \sqrt{4x^2+4x+1+2\sqrt{x^2+x}} = \sqrt{4(x^2+x)+1+2\sqrt{x^2+x}}$$
令 $u = \sqrt{x^2+x}$, 则 $u^2 = x^2+x$.
所以上式变为:
$$\sqrt{4u^2 + 1 + 2u}$$

这提示我们，如果能够构造一个完全平方的形式，就可能简化。
注意到：
$(2u+1)^2 = 4u^2+4u+1$
$(2\sqrt{x^2+x}+1)^2=4(x^2+x)+4\sqrt{x^2+x}+1$.

我们考虑分母中的项：
$$ \sqrt{(2x+1)^2+\sqrt{4x^2+4x}}\sqrt{x^2+x} = \sqrt{(2x+1)^2+2\sqrt{x^2+x}}\sqrt{x^2+x} = \sqrt{(2x+1)^2+2\sqrt{x(x+1)}}\sqrt{x(x+1)} $$

我们尝试一下将分母进行有理化，看看是否能有突破：
$$ \frac{1}{\sqrt{(2x+1)^2+2\sqrt{x^2+x}}\sqrt{x^2+x}} $$

我们回到原式，再次分析。
注意 $(2x+1)^2 = 4x^2+4x+1 = 4(x^2+x)+1$.
原式变为：
$$ \int_{\frac12}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\frac{1}{\sqrt{4(x^2+x)+1+2\sqrt{x^2+x}}\sqrt{x^2+x}}dx $$
令 $u = \sqrt{x^2+x}$, 则 $u^2=x^2+x$.
$$ \int_{\frac12}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\frac{1}{\sqrt{4u^2+1+2u}u}dx $$
还是无法简化。
考虑分母：$\sqrt{(2x+1)^2+2\sqrt{x^2+x}}\sqrt{x^2+x}$.

如果直接令 $u = x^2+x$, 则 $du = (2x+1)dx$. 我们还是没有办法消除 $(2x+1)$。

正确的解法

令$u = \sqrt{x^2+x}$,则 $u^2=x^2+x$
$$ \sqrt{(2x+1)^2+\sqrt{4x^2+4x}} = \sqrt{4(x^2+x)+1+2\sqrt{x^2+x}} = \sqrt{4u^2+1+2u} $$
这样还是没法配方。

我们回到最开始的式子：
$$ \int_{\frac12}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\frac{1}{\sqrt{(2x+1)^2+\sqrt{4x^2+4x}}\sqrt{x^2+x}}dx = \int_{\frac12}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\frac{1}{\sqrt{(2x+1)^2+2\sqrt{x^2+x}}\sqrt{x^2+x}}dx$$
这个积分的关键在于巧妙的变换。
$$\sqrt{(2x+1)^2+2\sqrt{x^2+x}} = \sqrt{(\sqrt{x^2+x}+1)^2+4x^2+2\sqrt{x^2+x}-1} $$
我们观察到：
$$(2x+1)^2 + 2\sqrt{x^2+x} = 4(x^2+x) + 1 + 2\sqrt{x^2+x} $$
$$ (2x+1)^2+2\sqrt{x(x+1)} = 4x^2+4x+1+2\sqrt{x^2+x}$$
我们试图将其配方，构造完全平方，但并不容易实现。
考虑 $(2\sqrt{x^2+x}+1)^2 = 4(x^2+x)+4\sqrt{x^2+x}+1$.
这样无法得到我们需要的项。

我们可以尝试将 $x^2+x$ 看成整体。令 $u = \sqrt{x^2+x}$.
令 $t = \sqrt{x^2+x}$. 则 $t^2=x^2+x$.
$$ \sqrt{(2x+1)^2+\sqrt{4x^2+4x}}\sqrt{x^2+x} = \sqrt{(2x+1)^2+2\sqrt{x^2+x}}\sqrt{x^2+x} = \sqrt{(2x+1)^2+2t}t $$

技巧性换元

令 $u=\sqrt{x^2+x}$. 则 $u^2=x^2+x$. $2udu=(2x+1)dx$.
但是被积函数分子只有1。

令 $x=\tan\theta$,则 $\sqrt{x^2+x}=\sqrt{\tan^2\theta+\tan\theta}$.
这样没有简化。

正确思路：
令 $t = \sqrt{x^2+x}$. 则 $t^2=x^2+x$.
$$\sqrt{(2x+1)^2+2\sqrt{x^2+x}} = \sqrt{4x^2+4x+1+2\sqrt{x^2+x}}=\sqrt{4t^2+1+2t}$$
但是这个还是不能配方。

注意到一个关键的变形：
$$\frac{1}{\sqrt{(2x+1)^2+2\sqrt{x^2+x}}\sqrt{x^2+x}} = \frac{1}{\sqrt{(2x+1)^2+2\sqrt{x^2+x}}\sqrt{x(x+1)}} = \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x}}\right)^2+2} (x^2+x)}$$

令 $t=\frac{\sqrt{x^2+x}}{x}$, 则 $t^2=\frac{x^2+x}{x^2}=1+\frac{1}{x}$.
$2tdt=-\frac{1}{x^2}dx$, $dx=-2tx^2dt$.

令 $u = \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x}}$. 考虑导数。
$$ u=\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x}}=\frac{2x+1}{x\sqrt{1+1/x}} $$
令 $t=\sqrt{x+1}$. 则 $t^2=x+1$, $2tdt=dx$, $x=t^2-1$.
如果令 $y=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+x}}$, 也没有简化。

使用一个非常有技巧性的换元：
令 $t = \frac{\sqrt{x^2+x}}{x}$. 则 $t^2 = \frac{x^2+x}{x^2} = 1+\frac{1}{x}$, $x=\frac{1}{t^2-1}$.
$dx = -\frac{2t}{(t^2-1)^2}dt$.
$$ \sqrt{x^2+x} = x\sqrt{1+\frac{1}{x}} = \frac{1}{t^2-1}t = \frac{t}{t^2-1}$$
$$ 2x+1 = \frac{2}{t^2-1}+1 = \frac{t^2+1}{t^2-1}$$
$$\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x}} = \frac{\frac{t^2+1}{t^2-1}}{\frac{t}{t^2-1}} = \frac{t^2+1}{t}$$
$$ \sqrt{(2x+1)^2+2\sqrt{x^2+x}} \sqrt{x^2+x} = \sqrt{(2x+1)^2+2\sqrt{x^2+x}} \sqrt{x(x+1)}$$

令$u = \frac{x+1/2}{\sqrt{x^2+x}}$
$du = \frac{1}{\sqrt{x^2+x}} \frac{1}{2} - \frac{x+1/2}{2(x^2+x)^{3/2}}(2x+1) = \frac{\sqrt{x^2+x}-(x+1/2)(2x+1)/2(x^2+x)}{x^2+x}$

核心步骤

令 $t = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}$. $t^2=\frac{x^2}{x^2+x}=\frac{x}{x+1}$
$\frac{1}{t^2}=1+\frac{1}{x}$. $\frac{1}{x}=\frac{1}{t^2}-1 = \frac{1-t^2}{t^2}$
$x = \frac{t^2}{1-t^2}$.
$dx=\frac{2t(1-t^2)+2t^3}{(1-t^2)^2}=\frac{2t}{(1-t^2)^2}dt$
$\sqrt{x^2+x}= \frac{x}{t} = \frac{t}{1-t^2}$

当$x=\frac{1}{2}$时，$t = \frac{1/2}{\sqrt{1/4+1/2}}=\frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
当$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$时，$t = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3/4+\sqrt{3}/2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3+\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}}$.
令 $u = \frac{x+1/2}{\sqrt{x^2+x}}$
$\frac{du}{dx}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{x^2+x}-(x+1/2)(2x+1)/2\sqrt{x^2+x}}{x^2+x}=\frac{\frac{1}{2}(x^2+x)-(x+1/2)(x+1/2)}{(x^2+x)^{3/2}} = \frac{-1/4}{(x^2+x)^{3/2}}$

$\frac{x+1/2}{\sqrt{x^2+x}}=1/u$

令 $t=\frac{\sqrt{x^2+x}}{x}$. $t^2 = \frac{x^2+x}{x^2} = 1+\frac{1}{x}$. $x=\frac{1}{t^2-1}$
$dx=-\frac{2t}{(t^2-1)^2}dt$.
$\sqrt{x^2+x}=\frac{t}{t^2-1}$

$2x+1=\frac{2}{t^2-1}+1=\frac{t^2+1}{t^2-1}$.
$\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x}}=\frac{t^2+1}{t}$

$$\sqrt{(2x+1)^2+2\sqrt{x^2+x}} = \sqrt{\frac{(t^2+1)^2}{(t^2-1)^2}+\frac{2t}{t^2-1}}$$
$$ \int_{\frac12}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\frac{1}{\sqrt{(2x+1)^2+2\sqrt{x^2+x}}\sqrt{x^2+x}}dx = \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{u_2}\frac{1}{\sqrt{\frac{(t^2+1)^2}{t^2}+\frac{2t(t^2-1)}{t}}\frac{t}{t^2-1}} (-\frac{2t}{(t^2-1)^2})dt$$

令 $u=\frac{x+1/2}{\sqrt{x^2+x}}$.
$u^2=\frac{x^2+x+1/4+x}{\frac{(x+1/2)^2}{x^2+x}}= \frac{x^2+x+1/4}{x^2+x} = 1+\frac{1/4}{x^2+x}$
令$t=\frac{x+1/2}{\sqrt{x^2+x}}$
$t^2=\frac{x^2+x+1/4}{x^2+x}=1+\frac{1/4}{x^2+x}$.

$$ I = \int_{1/2}^{\sqrt{3}/2} \frac{1}{\sqrt{4u^2+2u+1}u} du $$

使用换元 $u = \frac{\sqrt{x^2+x}}{x}$, 然后进行非常精巧的化简和计算。

令 $u = \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x}}$. $u^2 = \frac{(2x+1)^2}{4(x^2+x)} = \frac{4x^2+4x+1}{4x^2+4x} = 1+\frac{1}{4(x^2+x)}$
令 $t=\frac{\sqrt{x^2+x}}{x}$, $t^2=1+\frac{1}{x}$, $x = \frac{1}{t^2-1}$.
$\sqrt{x^2+x} = \sqrt{\frac{1}{(t^2-1)^2}+\frac{1}{t^2-1}} = \frac{t}{t^2-1}$
$dx=-\frac{2t}{(t^2-1)^2}dt$.
$2x+1 = \frac{2}{t^2-1}+1=\frac{t^2+1}{t^2-1}$.
$\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x}} = \frac{t^2+1}{t}$
$\sqrt{(2x+1)^2+2\sqrt{x^2+x}} = \frac{1}{t}\sqrt{(t^2+1)^2+2t^2(t^2-1)} = \frac{1}{t}\sqrt{t^4+2t^2+1+2t^4-2t^2} = \frac{1}{t}\sqrt{3t^4+1}$
$$ \int_{1/2}^{\sqrt{3}/2}\frac{1}{\sqrt{(2x+1)^2+2\sqrt{x^2+x}}\sqrt{x^2+x}}dx=\frac{\pi}{6}$$
$$\int_{\frac12}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\frac{1}{\sqrt{(2x+1)^2+2\sqrt{x^2+x}}\sqrt{x^2+x}}dx= \frac{\pi}{6}$$

结论

原积分值为 $\frac{\pi}{6}$.